2. Рис. 860. Дано: ∠AB: ∠BC = 11:12. Найти: ∠BCA, ∠BAC.

Решение:

• В треугольнике ABC, AB и AC — отрезки касательных, а BC — хорда.
• Центр окружности O. Угол ∠BOC = 130° (из рисунка).
• Угол ∠BAC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен ∠BOC = 130°.
• Вписанный угол равен половине центрального угла, поэтому ∠BAC = ∠BOC / 2 = 130° / 2 = 65°.
• Сумма углов треугольника ABC равна 180°. ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180°.
• Отношение углов ∠ABC : ∠BCA = 11:12. Обозначим ∠ABC = 11x, ∠BCA = 12x.
• 11x + 12x + 65° = 180°.
• 23x = 180° - 65° = 115°.
• x = 115° / 23 = 5°.
• ∠ABC = 11 * 5° = 55°.
• ∠BCA = 12 * 5° = 60°.

Ответ: ∠BCA = 60°, ∠BAC = 65°.