4. Окружность с центром О и радиусом 12 см описана около треугольника МРК так, что ∠MON = 120°, ∠NOK = 90°. Найдите стороны MN и NK треугольника.

Решение:

• Окружность с центром О и радиусом 12 см описана около треугольника MPK.
• ∠MON = 120° и ∠NOK = 90° — это центральные углы, опирающиеся на дуги MN и NK соответственно.
• Стороны треугольника MPK — это хорды, стягивающие эти дуги.
• Найдем длину хорды MN, используя теорему косинусов в треугольнике MON:
• MN² = MO² + ON² - 2 ⋅ MO ⋅ ON ⋅ cos(∠MON).
• MO = ON = 12 см (радиусы).
• MN² = 12² + 12² - 2 ⋅ 12 ⋅ 12 ⋅ cos(120°).
• MN² = 144 + 144 - 2 ⋅ 144 ⋅ (-1/2) = 288 + 144 = 432.
• MN = √432 = √(144 ⋅ 3) = 12√3 см.
• Найдем длину хорды NK, используя теорему косинусов в треугольнике NOK:
• NK² = NO² + OK² - 2 ⋅ NO ⋅ OK ⋅ cos(∠NOK).
• NO = OK = 12 см (радиусы).
• NK² = 12² + 12² - 2 ⋅ 12 ⋅ 12 ⋅ cos(90°).
• NK² = 144 + 144 - 2 ⋅ 144 ⋅ 0 = 288.
• NK = √288 = √(144 ⋅ 2) = 12√2 см.

Ответ: MN = 12√3 см, NK = 12√2 см.