2. SABС — правильный тетраэдр с ребром 3. Найдите координаты точек P, P₁, если SP=1, PP₁ ⟂ (ABC), P₁ ∈ (ABC).

Возьмём координаты из рисунка: A=(0;0;0), C=(3;0;0), B=(1.5;3√3/2;0), S=(1.5;√3/2;√6). Точка P лежит на SC. Так как SC=3 и SP=1, точка P отстоит от S на треть пути к C:

P=S+(1/3)(C−S)=(2;√3/3;2√6/3).

Перпендикулярная проекция на плоскость ABC сохраняет первые две координаты и обнуляет третью, поэтому P₁=(2;√3/3;0).

Ответ: P(2;√3/3;2√6/3), P₁(2;√3/3;0).