2. Теорема синусов и теорема косинусов. а) По теореме косинусов \(c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos C\). Найдите \(c\), если \(a=5\), \(b=8\), угол между ними \(C=60^\circ\). б) По теореме синусов радиус описанной окружности: \(2R=\frac{a}{\sin A}\). Найдите \(R\), если сторона \(a=10\) лежит против угла \(A=30^\circ\).

а) Подставим значения в теорему косинусов:

\(c^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cdot\cos60^\circ=25+64-80\cdot0.5=49\).

Так как длина стороны положительна, \(c=\sqrt{49}=7\).

б) Из формулы \(2R=\frac{a}{\sin A}\) получаем:

\(R=\frac{10}{2\sin30^\circ}=\frac{10}{2\cdot0.5}=10\).

Ответ: а) 7; б) 10.