7. Задача с полным решением. Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 22, а боковая сторона равна 13. Найдите высоту трапеции и её площадь.

Пусть высота трапеции равна \(h\). Опустим перпендикуляры из концов меньшего основания на большее. Разность оснований равна \(22-12=10\). В равнобедренной трапеции выступы по краям равны, поэтому каждый равен \(10/2=5\).

Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 13, одним катетом 5 и другим катетом \(h\). По теореме Пифагора:

\(h^2+5^2=13^2\), значит \(h^2=169-25=144\), откуда \(h=12\).

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

\(S=\frac{12+22}{2}\cdot12=17\cdot12=204\).

Ответ: высота — 12, площадь — 204 квадратных единицы.