№2. Упростите выражение (используя рисунок к №1): а) \(\overrightarrow{C_1A_1}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{D_1A}+\overrightarrow{B_1C}-\overrightarrow{D_1B}\); б) \(\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A_1D}-\overrightarrow{D_1D}+\overrightarrow{CA}\).

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\mathbf u\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf v\), \(\overrightarrow{AA_1}=\mathbf w\). Тогда координатные векторы вершин параллелепипеда выражаются через \(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w\).

а) Подставим векторы и приведём подобные:

\[\begin{aligned}\overrightarrow{C_1A_1}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{D_1A}+\overrightarrow{B_1C}-\overrightarrow{D_1B} & =(-\mathbf u-\mathbf v)-(\mathbf v-\mathbf u)+\mathbf w-(\mathbf v+\mathbf w)+(\mathbf v-\mathbf w)-(-\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w)\\&=-\mathbf u-\mathbf v=\overrightarrow{C_1A_1}.\end{aligned}\]

б) Аналогично:

\[\begin{aligned}\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A_1D}-\overrightarrow{D_1D}+\overrightarrow{CA} &=-\mathbf w+\mathbf v+(\mathbf v-\mathbf w)+\mathbf w-(\mathbf u+\mathbf v)\\&=-\mathbf u+\mathbf v-\mathbf w=\overrightarrow{B_1D}.\end{aligned}\]

Ответ: а) \(\overrightarrow{C_1A_1}\); б) \(\overrightarrow{B_1D}\).