№6. Все рёбра правильной пирамиды SABCD равны 4. Точки T и P — середины рёбер BS и DS. Найдите длину вектора, равного сумме векторов \(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PT}+\overrightarrow{AB}\).

По правилу сложения векторов \(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PT}=\overrightarrow{BT}\). Поэтому сумма равна \(\overrightarrow{BT}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AT}\).

Основание правильной пирамиды — квадрат со стороной 4. Поскольку все рёбра равны 4, треугольник \(ABS\) равносторонний. В нём \(T\) — середина \(BS\), следовательно, \(AT\) — медиана и высота равностороннего треугольника со стороной 4.

\[|\overrightarrow{AT}|=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3.\]

Ответ: \(2\sqrt3\).