2 Устройство состоит из четырех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго, третьего и четвертого элементов соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что за время t безотказно будут работать только два элемента

Решение:

Пусть \( P_1, P_2, P_3, P_4 \) — вероятности безотказной работы первого, второго, третьего и четвертого элементов соответственно.

Дано: \( P_1 = 0.5 \), \( P_2 = 0.6 \), \( P_3 = 0.7 \), \( P_4 = 0.8 \).

Вероятности отказа элементов:

\( Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0.5 = 0.5 \)

\( Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0.6 = 0.4 \)

\( Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0.7 = 0.3 \)

\( Q_4 = 1 - P_4 = 1 - 0.8 = 0.2 \)

Нам нужно найти вероятность того, что безотказно будут работать ровно два элемента. Возможны следующие комбинации двух работающих и двух отказавших элементов:

1. 1 и 2 работают, 3 и 4 отказывают: \( P_1 P_2 Q_3 Q_4 = 0.5 \times 0.6 \times 0.3 \times 0.2 = 0.018 \)
2. 1 и 3 работают, 2 и 4 отказывают: \( P_1 P_3 Q_2 Q_4 = 0.5 \times 0.7 \times 0.4 \times 0.2 = 0.028 \)
3. 1 и 4 работают, 2 и 3 отказывают: \( P_1 P_4 Q_2 Q_3 = 0.5 \times 0.8 \times 0.4 \times 0.3 = 0.048 \)
4. 2 и 3 работают, 1 и 4 отказывают: \( P_2 P_3 Q_1 Q_4 = 0.6 \times 0.7 \times 0.5 \times 0.2 = 0.042 \)
5. 2 и 4 работают, 1 и 3 отказывают: \( P_2 P_4 Q_1 Q_3 = 0.6 \times 0.8 \times 0.5 \times 0.3 = 0.072 \)
6. 3 и 4 работают, 1 и 2 отказывают: \( P_3 P_4 Q_1 Q_2 = 0.7 \times 0.8 \times 0.5 \times 0.4 = 0.112 \)

Суммируем вероятности всех этих несовместных случаев:

\[ 0.018 + 0.028 + 0.048 + 0.042 + 0.072 + 0.112 = 0.320 \]

Ответ: 0,320