6 Два охотника соревнуются: кто подстрелит больше уток при двух выстрелах, тот и победит. Вероятность попадания первого охотника в утку равна 0,5, второго - 0,6. Какова вероятность того, что выиграет первый охотник? Считать, что при одном выстреле можно убить только одну утку.

Решение:

Пусть \( P_1 \) — вероятность попадания первого охотника, \( P_1 = 0.5 \).

Пусть \( P_2 \) — вероятность попадания второго охотника, \( P_2 = 0.6 \).

Вероятность промаха для первого охотника: \( Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0.5 = 0.5 \).

Вероятность промаха для второго охотника: \( Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0.6 = 0.4 \).

Первый охотник выиграет, если подстрелит больше уток, чем второй. Возможны следующие сценарии:

1. Первый охотник подстрелил 2 утки (оба выстрела удачные), а второй — 0 или 1 утку.
• Первый подстрелил 2 утки: \( P_1 \times P_1 = 0.5 \times 0.5 = 0.25 \).
• Второй подстрелил 0 уток: \( Q_2 \times Q_2 = 0.4 \times 0.4 = 0.16 \). Вероятность этого сценария: \( 0.25 \times 0.16 = 0.04 \).
• Второй подстрелил 1 утку: (попал, промах) \( P_2 \times Q_2 = 0.6 \times 0.4 = 0.24 \) или (промах, попал) \( Q_2 \times P_2 = 0.4 \times 0.6 = 0.24 \). Всего \( 0.24 + 0.24 = 0.48 \). Вероятность этого сценария: \( 0.25 \times 0.48 = 0.12 \).
• Суммарная вероятность, что первый подстрелил 2 утки, а второй 0 или 1: \( 0.04 + 0.12 = 0.16 \).
2. Первый охотник подстрелил 1 утку, а второй — 0 уток.
• Первый подстрелил 1 утку: (попал, промах) \( P_1 \times Q_1 = 0.5 \times 0.5 = 0.25 \) или (промах, попал) \( Q_1 \times P_1 = 0.5 \times 0.5 = 0.25 \). Всего \( 0.25 + 0.25 = 0.5 \).
• Второй подстрелил 0 уток: \( Q_2 \times Q_2 = 0.4 \times 0.4 = 0.16 \).
• Вероятность этого сценария: \( 0.5 \times 0.16 = 0.08 \).

Общая вероятность того, что выиграет первый охотник, равна сумме вероятностей этих несовместных случаев:

\[ 0.16 + 0.08 = 0.24 \]

Ответ: 0,24