9 В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении

Решение:

Пусть \( И1 \) — событие, что первый резец изношенный.

Пусть \( Н1 \) — событие, что первый резец новый.

Пусть \( И2 \) — событие, что второй резец изношенный.

Пусть \( Н2 \) — событие, что второй резец новый.

В ящике всего 5 резцов: 2 изношенных (И) и 3 новых (Н).

Нам нужно найти условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении, то есть \( P(И2) \).

Событие \( И2 \) может произойти двумя путями:

1. Первый резец был изношенный, и второй резец изношенный.
• Вероятность того, что первый резец изношенный: \( P(И1) = \frac{2}{5} \).
• После извлечения одного изношенного резца в ящике остаётся 4 резца: 1 изношенный и 3 новых.
• Вероятность того, что второй резец изношенный при условии, что первый был изношенный: \( P(И2 | И1) = \frac{1}{4} \).
• Вероятность этого совместного события: \( P(И1 \cap И2) = P(И1) \times P(И2 | И1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \).
2. Первый резец был новый, и второй резец изношенный.
• Вероятность того, что первый резец новый: \( P(Н1) = \frac{3}{5} \).
• После извлечения одного нового резца в ящике остаётся 4 резца: 2 изношенных и 2 новых.
• Вероятность того, что второй резец изношенный при условии, что первый был новый: \( P(И2 | Н1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
• Вероятность этого совместного события: \( P(Н1 \cap И2) = P(Н1) \times P(И2 | Н1) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} \).

Полная вероятность того, что второй резец изношенный, равна сумме вероятностей этих несовместных случаев:

\[ P(И2) = P(И1 \cap И2) + P(Н1 \cap И2) = \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]

Ответ: \(\frac{2}{5}\) или 0,4