7 Пятеро стрелков производят по одному выстрелу в мишень независимо друг от друга. Вероятности попадания в мишень соответственно равны 0,6; 0,5; 0,8; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет ровно четыре пробоины.

Решение:

Пусть \( P_1, P_2, P_3, P_4, P_5 \) — вероятности попадания пятерых стрелков.

Дано: \( P_1 = 0.6 \), \( P_2 = 0.5 \), \( P_3 = 0.8 \), \( P_4 = 0.7 \), \( P_5 = 0.8 \).

Вероятности промаха:

\( Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0.6 = 0.4 \)

\( Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0.5 = 0.5 \)

\( Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0.8 = 0.2 \)

\( Q_4 = 1 - P_4 = 1 - 0.7 = 0.3 \)

\( Q_5 = 1 - P_5 = 1 - 0.8 = 0.2 \)

Нам нужно найти вероятность того, что будет ровно четыре пробоины. Это означает, что один из стрелков промахнётся, а остальные четверо попадут.

Рассмотрим случаи, когда промахивается один из стрелков:

1. Промахнулся 1-й стрелок, попали 2-й, 3-й, 4-й, 5-й: \( Q_1 P_2 P_3 P_4 P_5 = 0.4 \times 0.5 \times 0.8 \times 0.7 \times 0.8 = 0.09072 \)
2. Промахнулся 2-й стрелок, попали 1-й, 3-й, 4-й, 5-й: \( P_1 Q_2 P_3 P_4 P_5 = 0.6 \times 0.5 \times 0.8 \times 0.7 \times 0.8 = 0.1344 \)
3. Промахнулся 3-й стрелок, попали 1-й, 2-й, 4-й, 5-й: \( P_1 P_2 Q_3 P_4 P_5 = 0.6 \times 0.5 \times 0.2 \times 0.7 \times 0.8 = 0.0336 \)
4. Промахнулся 4-й стрелок, попали 1-й, 2-й, 3-й, 5-й: \( P_1 P_2 P_3 Q_4 P_5 = 0.6 \times 0.5 \times 0.8 \times 0.3 \times 0.8 = 0.0576 \)
5. Промахнулся 5-й стрелок, попали 1-й, 2-й, 3-й, 4-й: \( P_1 P_2 P_3 P_4 Q_5 = 0.6 \times 0.5 \times 0.8 \times 0.7 \times 0.2 = 0.0336 \)

Суммируем вероятности всех этих несовместных случаев:

\[ 0.09072 + 0.1344 + 0.0336 + 0.0576 + 0.0336 = 0.35092 \]

Ответ: 0,35092