2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB боковая сторона равна 16√15, sin ∠BAC = 0,25. Найдите длину высоты AH.

Боковые стороны равны: \(AC=BC=16\sqrt{15}\). Из \(\sin A=\frac14\) получаем \(\cos A=\frac{\sqrt{15}}4\). Поскольку углы при основании равны, \(\angle B=A\), а \(\angle C=180°-2A\).

По теореме синусов (или из свойств равнобедренного треугольника) основание \(AB=2AC\sin A=8\sqrt{15}\). Также \(\sin C=\sin 2A=2\sin A\cos A=\frac{\sqrt{15}}8\).

Площадь можно выразить через основание BC и высоту AH: \(S=\frac12 BC\cdot AH\). С другой стороны, \(S=\frac12 AB\cdot AC\sin A\). Поэтому \(AH=\frac{AB\cdot AC\sin A}{BC}=8\sqrt{15}\cdot\frac14=2\sqrt{15}\).

Ответ: \(2\sqrt{15}\).