№2. В треугольнике ABC, ∠A = 45°, ∠B = 30°, BC = 6√2. Найдите площадь треугольника ABC.

Сначала найдём третий угол: \(\angle C=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ\).

По теореме синусов для стороны \(AC\), противоположной углу \(B\):

\(\frac{AC}{\sin 30^\circ}=\frac{BC}{\sin 45^\circ}\), поэтому \(AC=6\sqrt2\cdot\frac{1/2}{\sqrt2/2}=6\).

Теперь найдём площадь по двум сторонам и углу между ними:

\(S=\frac12\cdot BC\cdot AC\cdot\sin C=\frac12\cdot6\sqrt2\cdot6\cdot\sin105^\circ\).

Так как \(\sin105^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\), получаем \(S=9(\sqrt3+1)\).

Ответ: \(9(\sqrt3+1)\).