2. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 15, cos ∠BAC = √19/10. Найдите высоту AH.

Так как AC = BC, треугольник равнобедренный с основанием AB. Высота из C делит AB пополам, поэтому отрезок от A до основания этой высоты равен 7,5.

Обозначим через x длину высоты из C. Тогда в прямоугольном треугольнике у угла A:

\(\cos \angle BAC=\frac{7.5}{AC}=\frac{\sqrt{19}}{10}\), откуда \(AC=\frac{75}{\sqrt{19}}\).

По теореме Пифагора \(x^2=AC^2-7.5^2=\frac{5625}{19}-\frac{225}{4}=\frac{18225}{76}\), следовательно \(x=\frac{135}{2\sqrt{19}}\).

Площадь треугольника равна \(S=\frac12\cdot15\cdot x\). Также \(S=\frac12\cdot BC\cdot AH=\frac12\cdot AC\cdot AH\), так как AC = BC. Поэтому \(AH=\frac{15x}{AC}=\frac{15\cdot135}{2\sqrt{19}}\cdot\frac{\sqrt{19}}{75}=13.5\).

Ответ: 13,5.