2. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 2 и BC = BM. Найдите AH.

Поскольку BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = MC = 1.

Пусть AH = x. Тогда HC = AC − AH = 2 − x. Из прямоугольных треугольников BHC и BHM:

BC² = BH² + HC², BM² = BH² + HM².

По условию BC = BM, следовательно, HC² = HM². Длины положительны, поэтому HC = HM.

На рисунке порядок точек — A, M, H, C, значит HM = AH − AM = x − 1. Получаем 2 − x = x − 1, откуда x = 1.5.

Ответ: AH = 1.5.