2. В угол С величиной 90° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О - центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Задание 2. Окружность, вписанная в прямой угол

Дано:

• Угол \( ∠C = 90^\circ \).
• Окружность касается сторон \( CA \) в точке \( A \) и \( CB \) в точке \( B \).
• \( O \) - центр окружности.

Найти: угол \( ∠AOB \).

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник \( CAOB \).

Так как окружность касается сторон \( CA \) и \( CB \) в точках \( A \) и \( B \) соответственно, то радиусы \( OA \) и \( OB \) перпендикулярны сторонам угла в точках касания. Следовательно, \( ∠CAO = 90^\circ \) и \( ∠CBO = 90^\circ \).

Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^\circ \).

\( ∠C + ∠CAO + ∠AOB + ∠CBO = 360^\circ \)

Подставим известные значения:

\( 90^\circ + 90^\circ + ∠AOB + 90^\circ = 360^\circ \)

\( 270^\circ + ∠AOB = 360^\circ \)

\( ∠AOB = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ \)

Ответ: 90.