5. Точка О - центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ∠ABC = 124° и ∠OAB = 64°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

Задание 5. Углы в окружности

Дано:

• \( O \) - центр окружности, точки \( A, B, C \) лежат на окружности.
• \( ∠ABC = 124^\circ \).
• \( ∠OAB = 64^\circ \).

Найти: угол \( ∠BCO \).

Решение:

1. Угол \( ∠ABC \) является вписанным углом. Он опирается на дугу \( AC \). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \( ∠AOC \).

\( ∠AOC = 2 · ∠ABC \). Однако, \( ∠ABC = 124^\circ \) — это тупой вписанный угол. Он опирается на большую дугу \( AC \). Центральный угол, опирающийся на меньшую дугу \( AC \) (который мы обычно используем), будет равен \( 360^\circ - 2 · 124^\circ \) - это неверно, так как вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Правильно: Центральный угол \( ∠AOC \), который опирается на меньшую дугу \( AC \), равен \( 2 · (180^\circ - 124^\circ) \) - это тоже неверно.

Правильное рассуждение:

Вписанный угол \( ∠ABC = 124^\circ \) опирается на дугу \( AC \). Величина этой дуги равна \( 2 · (180^\circ - 124^\circ) = 2 · 56^\circ = 112^\circ \) - это неверно.

Вписанный угол равен половине дуги. Дуга, на которую опирается \( ∠ABC = 124^\circ \) (большая дуга \( AC \)), равна \( 2 · 124^\circ = 248^\circ \).

Тогда меньшая дуга \( AC \) равна \( 360^\circ - 248^\circ = 112^\circ \).

Центральный угол \( ∠AOC \), опирающийся на меньшую дугу \( AC \), равен \( 112^\circ \).

2. Треугольник \( △ OAB \) — равнобедренный, так как \( OA = OB \) (радиусы). Следовательно, \( ∠OBA = ∠OAB = 64^\circ \).

\( ∠AOB = 180^\circ - (∠OAB + ∠OBA) = 180^\circ - (64^\circ + 64^\circ) = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ \).

3. Угол \( ∠ABC = ∠OBA + ∠OBC \). Мы знаем \( ∠ABC = 124^\circ \) и \( ∠OBA = 64^\circ \).

\( 124^\circ = 64^\circ + ∠OBC \)

\( ∠OBC = 124^\circ - 64^\circ = 60^\circ \).

4. Треугольник \( △ OBC \) — равнобедренный, так как \( OB = OC \) (радиусы).

Следовательно, \( ∠OCB = ∠OBC = 60^\circ \).

Ответ: 60.