8. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 40°. Длина меньшей дуги АВ равна 50. Найдите длину большей дуги.

Задание 8. Длина большей дуги окружности

Дано:

• Центральный угол, соответствующий меньшей дуге \( ∠AOB = 40^\circ \).
• Длина меньшей дуги \( AB = 50 \).

Найти: длину большей дуги \( AB \).

Решение:

Длина дуги окружности пропорциональна ее центральному углу. Отношение длины дуги к длине всей окружности равно отношению центрального угла этой дуги к полному углу окружности (360°).

Сначала найдем длину всей окружности. Пусть \( L_{меньшей} \) — длина меньшей дуги, а \( L_{большей} \) — длина большей дуги.

Пусть \( C \) — длина всей окружности.

Для меньшей дуги:

\[ \frac{L_{меньшей}}{C} = \frac{∠AOB}{360^\circ} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{50}{C} = \frac{40^\circ}{360^\circ} \]

Упростим дробь:

\[ \frac{40}{360} = \frac{1}{9} \]

Теперь найдем длину всей окружности:

\[ \frac{50}{C} = \frac{1}{9} \]

\[ C = 50 · 9 = 450 \]

Длина большей дуги равна длине всей окружности минус длина меньшей дуги:

\[ L_{большей} = C - L_{меньшей} \]

\[ L_{большей} = 450 - 50 = 400 \]

Альтернативный способ:

Угол, соответствующий большей дуге, равен \( 360^\circ - 40^\circ = 320^\circ \).

Длина большей дуги:

\[ L_{большей} = C · \frac{320^\circ}{360^\circ} = 450 · \frac{320}{360} = 450 · \frac{8}{9} = 50 · 8 = 400 \]

Ответ: 400.