7. Центральный угол АОВ, равный 60°, опирается на хорду АВ длиной 4. Найдите радиус окружности.

Задание 7. Радиус окружности по хорде и центральному углу

Дано:

• Центральный угол \( ∠AOB = 60^\circ \).
• Хорда \( AB = 4 \).

Найти: радиус окружности \( R \).

Решение:

Рассмотрим треугольник \( △ OAB \). Стороны \( OA \) и \( OB \) являются радиусами окружности, поэтому \( OA = OB = R \). Следовательно, \( △ OAB \) — равнобедренный треугольник.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( ∠OAB = ∠OBA \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \):

\[ ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180^\circ \]

Подставим значение \( ∠AOB = 60^\circ \):

\[ 60^\circ + ∠OAB + ∠OBA = 180^\circ \]

\[ ∠OAB + ∠OBA = 120^\circ \]

Так как \( ∠OAB = ∠OBA \), то:

\[ 2 · ∠OAB = 120^\circ \]

\[ ∠OAB = 60^\circ \]

Таким образом, все углы треугольника \( △ OAB \) равны \( 60^\circ \). Это означает, что \( △ OAB \) — равносторонний треугольник.

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Следовательно, \( OA = OB = AB \).

Так как \( AB = 4 \), то и радиус \( R = 4 \).

Ответ: 4.