2 вариант. Т32. Запишите определение арифметического корня натуральной степени. Перечислите свойства степени с рациональным показателем. 1. А) ³√0,125 · 0,064 − √361; Б) (³√125 · √144) / (2 · ⁴√16); В) ³√(3 · 64) · ³√(27 · 4).

Определение. Арифметическим корнем натуральной степени \(n\) из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число \(b\), для которого \(b^n=a\); обозначается \(\sqrt[n]{a}\). Свойства степени с рациональным показателем: \(a^r a^s=a^{r+s}\); \(a^r/a^s=a^{r-s}\) при \(a\ne0\); \((a^r)^s=a^{rs}\); \((ab)^r=a^rb^r\); \((a/b)^r=a^r/b^r\) при \(b\ne0\), для допустимых оснований.

А) Читаю запись как \(\sqrt[3]{0.125}\cdot0.064-\sqrt{361}\): корень кубический относится только к 0,125.

1. \(\sqrt[3]{0.125}=0.5\), а \(\sqrt{361}=19\).
2. \(0.5\cdot0.064-19=0.032-19=-18.968\).

Б) \(\dfrac{\sqrt[3]{125}\cdot\sqrt{144}}{2\cdot\sqrt[4]{16}}=\dfrac{5\cdot12}{2\cdot2}=15\).

В) \(\sqrt[3]{3\cdot64}\cdot\sqrt[3]{27\cdot4}=\sqrt[3]{20736}=12\sqrt[3]{12}\), так как \(20736=12^3\cdot12\).

Ответ: А) −18,968; Б) 15; В) \(12\sqrt[3]{12}\).