2. Вычислите определитель \(\begin{vmatrix}4&-1&4&1\\1&0&2&1\\3&4&1&3\\5&0&0&2\end{vmatrix}\).

Разложим определитель по четвёртой строке: \(D=5C_{41}+2C_{44}\). Знаки кофакторов в этих позициях отрицательный и положительный.

\(D=-5\begin{vmatrix}-1&4&1\\0&2&1\\4&1&3\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4&-1&4\\1&0&2\\3&4&1\end{vmatrix}\).

Первый минор равен \((-1)(6-1)-4(0-4)+(0-8)=3\). Второй равен \(4(-8)-(-1)(1-6)+4(4)=-15\).

Значит, \(D=-5\cdot3+2\cdot(-15)=-45\).

Ответ: \(-45\).