5. Пользуясь методом Гаусса, решите систему уравнений \(\begin{cases}2x_1+3x_2+x_3+5x_4=1,\\x_1-x_2-2x_3+3x_4=3,\\-x_1+2x_2+6x_3=-1,\\3x_1+4x_2-x_4=1.\end{cases}\)

Запишем расширенную матрицу системы и выполним исключение Гаусса:

\(\left(\begin{array}{rrrr|r}2&3&1&5&1\\1&-1&-2&3&3\\-1&2&6&0&-1\\3&4&0&-1&1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{rrrr|r}1&-1&-2&3&3\\0&5&5&-1&-5\\0&1&4&3&2\\0&7&6&-10&-8\end{array}\right)\).

Переставим вторую и третью строки. Затем исключим элементы под ведущей единицей во втором столбце: \(R_3\leftarrow R_3-5R_2\), \(R_4\leftarrow R_4-7R_2\). Получим строки \((0,0,-15,-16,-15)\) и \((0,0,-22,-31,-22)\).

Из этих двух строк следует система \(15x_3+16x_4=15\), \(22x_3+31x_4=22\). Умножив первое равенство на 22, второе на 15 и вычтя, находим \(113x_4=0\), поэтому \(x_4=0\), \(x_3=1\).

Из строки \((0,1,4,3,2)\): \(x_2+4x_3+3x_4=2\), значит, \(x_2=-2\). Из первой строки: \(x_1-x_2-2x_3+3x_4=3\), откуда \(x_1=3\).

Ответ: \((x_1,x_2,x_3,x_4)=(3,-2,1,0)\).