2) (x²−4x)(x²−4x+7)=−12

Решение:

Пусть \( x^2 - 4x = t \). Тогда уравнение примет вид:

\( t(t+7) = -12 \)

Раскроем скобки:

\( t^2 + 7t = -12 \)

Перенесём всё в левую часть:

\( t^2 + 7t + 12 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Дискриминант:

\[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]

Найдем корни:

\[ t_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = -3 \]

\[ t_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = -4 \]

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: \( t = -3 \)

\[ x^2 - 4x = -3 \]

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \]

Случай 2: \( t = -4 \)

\[ x^2 - 4x = -4 \]

\[ x^2 - 4x + 4 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \]

Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один корень:

\[ x_3 = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \]

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3.