4) (x²−6x+4)(x²−6x+9)=−4

Решение:

Пусть \( x^2 - 6x = t \). Тогда уравнение примет вид:

\( (t+4)(t+9) = -4 \)

Раскроем скобки:

\( t^2 + 9t + 4t + 36 = -4 \)

\( t^2 + 13t + 36 = -4 \)

Перенесём всё в левую часть:

\( t^2 + 13t + 40 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Дискриминант:

\[ D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9 \]

Найдем корни:

\[ t_1 = \frac{-13 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-13 + 3}{2} = -5 \]

\[ t_2 = \frac{-13 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-13 - 3}{2} = -8 \]

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: \( t = -5 \)

\[ x^2 - 6x = -5 \]

\[ x^2 - 6x + 5 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = 1 \]

Случай 2: \( t = -8 \)

\[ x^2 - 6x = -8 \]

\[ x^2 - 6x + 8 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]

Корни:

\[ x_3 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \]

\[ x_4 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = 2 \]

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 4, x₄ = 5.