6) (x²−3x−39)(x²−3x+1)=41

Решение:

Пусть \( x^2 - 3x = t \). Тогда уравнение примет вид:

\( (t-39)(t+1) = 41 \)

Раскроем скобки:

\( t^2 + t - 39t - 39 = 41 \)

\( t^2 - 38t - 39 = 41 \)

Перенесём всё в левую часть:

\( t^2 - 38t - 80 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Дискриминант:

\[ D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 1444 + 320 = 1764 \]

Найдем корни:

\[ t_1 = \frac{-(-38) + \sqrt{1764}}{2 \cdot 1} = \frac{38 + 42}{2} = 40 \]

\[ t_2 = \frac{-(-38) - \sqrt{1764}}{2 \cdot 1} = \frac{38 - 42}{2} = -2 \]

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: \( t = 40 \)

\[ x^2 - 3x = 40 \]

\[ x^2 - 3x - 40 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 13}{2} = 8 \]

\[ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 13}{2} = -5 \]

Случай 2: \( t = -2 \)

\[ x^2 - 3x = -2 \]

\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \]

Корни:

\[ x_3 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \]

\[ x_4 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]

Ответ: x₁ = -5, x₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 8.