3) (x²−6x+8)(x²−6x+5)=−1

Решение:

Пусть \( x^2 - 6x = t \). Тогда уравнение примет вид:

\( (t+8)(t+5) = -1 \)

Раскроем скобки:

\( t^2 + 5t + 8t + 40 = -1 \)

\( t^2 + 13t + 40 = -1 \)

Перенесём всё в левую часть:

\( t^2 + 13t + 41 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Дискриминант:

\[ D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 41 = 169 - 164 = 5 \]

Найдем корни:

\[ t_1 = \frac{-13 + \sqrt{5}}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-13 - \sqrt{5}}{2} \]

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: \( t = \frac{-13 + \sqrt{5}}{2} \)

\[ x^2 - 6x = \frac{-13 + \sqrt{5}}{2} \]

\[ 2(x^2 - 6x) = -13 + \sqrt{5} \]

\[ 2x^2 - 12x + 13 - \sqrt{5} = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (13 - \sqrt{5}) = 144 - 8(13 - \sqrt{5}) = 144 - 104 + 8\sqrt{5} = 40 + 8\sqrt{5} \]

Случай 2: \( t = \frac{-13 - \sqrt{5}}{2} \)

\[ x^2 - 6x = \frac{-13 - \sqrt{5}}{2} \]

\[ 2(x^2 - 6x) = -13 - \sqrt{5} \]

\[ 2x^2 - 12x + 13 + \sqrt{5} = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (13 + \sqrt{5}) = 144 - 8(13 + \sqrt{5}) = 144 - 104 - 8\sqrt{5} = 40 - 8\sqrt{5} \]

Ответ: Уравнение имеет четыре действительных корня, которые можно найти, используя формулу корней квадратного уравнения для каждого из двух случаев обратной замены.