5) (x²+2x−6)(x²+2x−5)=6

Решение:

Пусть \( x^2 + 2x = t \). Тогда уравнение примет вид:

\( (t-6)(t-5) = 6 \)

Раскроем скобки:

\( t^2 - 5t - 6t + 30 = 6 \)

\( t^2 - 11t + 30 = 6 \)

Перенесём всё в левую часть:

\( t^2 - 11t + 24 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Дискриминант:

\[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \]

Найдем корни:

\[ t_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = 8 \]

\[ t_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = 3 \]

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: \( t = 8 \)

\[ x^2 + 2x = 8 \]

\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \]

Случай 2: \( t = 3 \)

\[ x^2 + 2x = 3 \]

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Корни:

\[ x_3 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \]

\[ x_4 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]

Ответ: x₁ = -4, x₂ = -3, x₃ = 1, x₄ = 2.