2 Значение cos(1/2 arccos(1/9)) равно

Дано:

• Выражение: \( \cos\left(\frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1}{9}\right)\right) \)

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся формулой косинуса половинного угла: \( \cos(\frac{\alpha}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}} \).

Пусть \( \alpha = \arccos(\frac{1}{9}) \). Тогда \( \cos(\alpha) = \frac{1}{9} \). Также, поскольку \( \arccos \) возвращает значения из диапазона \( [0, \pi] \), то \( \frac{\alpha}{2} \) будет находиться в диапазоне \( [0, \frac{\pi}{2}] \). В этом диапазоне косинус положителен, поэтому мы берем знак '+'.

Подставляем значения в формулу:

1. \( \cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{9}}{2}} \)
2. \( \cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{9}{9} + \frac{1}{9}}{2}} \)
3. \( \cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{\frac{10}{9}}{2}} \)
4. \( \cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{10}{18}} \)
5. \( \cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{5}{9}} \)
6. \( \cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sqrt{5}}{3} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{5}}{3} \)