3 Значение sin(arcctg(-√8)) равно

Дано:

• Выражение: \( \sin(\operatorname{arcctg}(-\sqrt{8})) \)

Решение:

Пусть \( \alpha = \operatorname{arcctg}(-\sqrt{8}) \). Это означает, что \( \operatorname{ctg}(\alpha) = -\sqrt{8} \). Также, по определению арккотангенса, \( \alpha \) принадлежит диапазону \( (0, \pi) \). Так как \( \operatorname{ctg}(\alpha) < 0 \), то \( \alpha \) находится во втором квадранте \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \). В этом квадранте \( \sin(\alpha) > 0 \).

Мы знаем, что \( \operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \) и \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \).

Из \( \operatorname{ctg}(\alpha) = -\sqrt{8} \) следует, что \( \cos(\alpha) = -\sqrt{8} \sin(\alpha) \).

Подставим это в основное тригонометрическое тождество:

1. \( \sin^2(\alpha) + (- \sqrt{8} \sin(\alpha))^2 = 1 \)
2. \( \sin^2(\alpha) + 8 \sin^2(\alpha) = 1 \)
3. \( 9 \sin^2(\alpha) = 1 \)
4. \( \sin^2(\alpha) = \frac{1}{9} \)

Так как \( \alpha \) во втором квадранте, \( \sin(\alpha) > 0 \). Следовательно,

1. \( \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{9}} \)
2. \( \sin(\alpha) = \frac{1}{3} \)

Ответ: \( \frac{1}{3} \)