6 Значение ctg(4 · arccos 0 + 2 · arctg 2) равно

Дано:

• Выражение: \( \operatorname{ctg}(4 \cdot \arccos(0) + 2 \cdot \operatorname{arctg}(2)) \)

Решение:

1. Вычислим значения арккосинуса и арктангенса:
   • \( \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \)
   • Пусть \( \delta = \operatorname{arctg}(2) \).
2. Подставим в выражение:
   • \( \operatorname{ctg}(4 \cdot \frac{\pi}{2} + 2\delta) \)
   • \( \operatorname{ctg}(2\pi + 2\delta) \)
3. Используем периодичность котангенса:
   • \( \operatorname{ctg}(2\pi + 2\delta) = \operatorname{ctg}(2\delta) \)
4. Найдем \( \operatorname{ctg}(2\delta) \) через \( \operatorname{tg}(\delta) \):
   • Мы знаем, что \( \operatorname{tg}(\delta) = 2 \).
   • Формула для тангенса двойного угла: \( \operatorname{tg}(2\delta) = \frac{2 \operatorname{tg}(\delta)}{1 - \operatorname{tg}^2(\delta)} \)
   • \( \operatorname{tg}(2\delta) = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2^2} = \frac{4}{1 - 4} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3} \)
5. Найдем \( \operatorname{ctg}(2\delta) \):
   • \( \operatorname{ctg}(2\delta) = \frac{1}{\operatorname{tg}(2\delta)} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \)

Ответ: \( -\frac{3}{4} \)