20. Диагональ АС ромба ABCD равна 32, а tg∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О под прямым углом. Диагонали делятся пополам.
• По условию, АС = 32, значит, ОС = АС / 2 = 32 / 2 = 16.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ВОС. Угол ∠OCB = ∠BCA.
• По условию, tg∠BCA = 0,75 = 3/4.
• В треугольнике ВОС: \(\text{tg}(\angle BCA) = \frac{BO}{OC}\).
• \(BO = OC \times \text{tg}(\angle BCA) = 16 \times \frac{3}{4} = 12\).
• Таким образом, диагонали ромба равны: АС = 32 и BD = 2 * BO = 2 * 12 = 24.
• Площадь ромба S = (AC * BD) / 2 = (32 * 24) / 2 = 384.
• Радиус вписанной окружности (r) в ромб равен высоте ромба, разделенной на 2. Высота ромба (h) также связана с площадью: S = a * h, где 'a' — сторона ромба.
• Найдем сторону ромба (AB) по теореме Пифагора в треугольнике ВОС: \(AB^2 = BO^2 + OC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400\).
• AB = \(\sqrt{400}\) = 20.
• Теперь найдем высоту ромба: \(h = S / AB = 384 / 20 = 19.2\).
• Радиус вписанной окружности равен половине высоты: r = h / 2 = 19.2 / 2 = 9.6.
• Альтернативный способ найти радиус: радиус вписанной окружности равен высоте прямоугольного треугольника ВОС, проведенной из вершины прямого угла О к гипотенузе ВС.
• Площадь треугольника ВОС = (BO * OC) / 2 = (12 * 16) / 2 = 96.
• Сторона ВС (гипотенуза) = AB = 20.
• Высота (радиус) r = (2 * Площадь треугольника) / Гипотенуза = (2 * 96) / 20 = 192 / 20 = 9.6.

Ответ: 9.6