20. Известно, что MC = BC = MA, NC = NA, ∠CMN = 52°. Найдите ∠BCA. Ответ дайте в градусах.

Поскольку NC = NA, точка N — середина CA. Также MC = MA, поэтому M лежит на серединном перпендикуляре к CA. Значит, MN ⟂ CA, и ∠MNC = 90°.

В треугольнике CMN: ∠MCN = 180° − 90° − 52° = 38°. Так как N лежит на CA, это угол между CM и CA.

В треугольнике CMA стороны MC и MA равны, поэтому ∠MCA = ∠CAM = 38°. Тогда ∠CMA = 180° − 38° − 38° = 104°.

Точки B, M и A лежат на одной прямой, поэтому ∠BMC = 180° − 104° = 76°. В треугольнике BCM стороны BC и MC равны, значит, ∠CBM = ∠BMC = 76°, а ∠BCM = 180° − 76° − 76° = 28°.

Следовательно, ∠BCA = ∠BCM + ∠MCA = 28° + 38° = 66°.

Ответ: 66°.