20. Решите неравенство \( \frac{1}{x} > \frac{1}{x-4} \)

Решение:

Перенесем все члены неравенства в одну сторону:

\[ \frac{1}{x} - \frac{1}{x-4} > 0 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{x-4 - x}{x(x-4)} > 0 \]\[ \frac{-4}{x(x-4)} > 0 \]

Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак. Так как числитель отрицательный (-4), то знаменатель должен быть отрицательным:

\[ x(x-4) < 0 \]

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения \( x(x-4) = 0 \) — это \( x=0 \) и \( x=4 \).

Отмечаем эти точки на числовой оси и определяем знаки интервалов:

• При \( x < 0 \), \( x \) отрицательный, \( x-4 \) отрицательный, произведение положительное.
• При \( 0 < x < 4 \), \( x \) положительный, \( x-4 \) отрицательный, произведение отрицательное.
• При \( x > 4 \), \( x \) положительный, \( x-4 \) положительный, произведение положительное.

Нам нужно, чтобы произведение было отрицательным, значит, \( 0 < x < 4 \).

Ответ: (0; 4).