25. Три окружности с центрами 01, 02 и Оз и радиусами 2,5, 0,5 и 4,5 соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол 010203.

Решение:

1. Соединим центры окружностей \( O_1, O_2, O_3 \). Получится треугольник \( \triangle O_1O_2O_3 \).

2. Стороны этого треугольника равны сумме радиусов попарно касающихся окружностей:

• \( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 2.5 + 0.5 = 3 \)
• \( O_2O_3 = r_2 + r_3 = 0.5 + 4.5 = 5 \)
• \( O_1O_3 = r_1 + r_3 = 2.5 + 4.5 = 7 \)

3. Мы получили треугольник со сторонами 3, 5, 7.

4. Чтобы найти угол \( \angle O_1O_2O_3 \), воспользуемся теоремой косинусов для треугольника \( \triangle O_1O_2O_3 \). Нас интересует угол, противолежащий стороне \( O_1O_3 \), так как он находится при вершине \( O_2 \).

\[ (O_1O_3)^2 = (O_1O_2)^2 + (O_2O_3)^2 - 2 × O_1O_2 × O_2O_3 × ÑîÓ(\angle O_1O_2O_3) \] \[ 7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 × 3 × 5 × ÑîÓ(\angle O_1O_2O_3) \] \[ 49 = 9 + 25 - 30 × ÑîÓ(\angle O_1O_2O_3) \] \[ 49 = 34 - 30 × ÑîÓ(\angle O_1O_2O_3) \] \[ 49 - 34 = -30 × ÑîÓ(\angle O_1O_2O_3) \] \[ 15 = -30 × ÑîÓ(\angle O_1O_2O_3) \] \[ ÑîÓ(\angle O_1O_2O_3) = \frac{15}{-30} \] \[ ÑîÓ(\angle O_1O_2O_3) = -0.5 \]

5. Найдем угол, косинус которого равен -0.5. Этот угол равен 120°.

Ответ: 120°.