22. Постройте график функции \( y = \frac{(x+4)(x^2+3x+2)}{x+1} \) И определите, при каких значениях т прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Упростим выражение для функции:

\[ y = \frac{(x+4)(x^2+3x+2)}{x+1} \]

Разложим квадратный трехчлен \( x^2+3x+2 \) на множители. Корни уравнения \( x^2+3x+2=0 \) находятся по теореме Виета: \( x_1+x_2 = -3 \) и \( x_1x_2 = 2 \). Корни: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -2 \).

Значит, \( x^2+3x+2 = (x+1)(x+2) \).

Подставим это в выражение для \( y \):

\[ y = \frac{(x+4)(x+1)(x+2)}{x+1} \]

При \( x \neq -1 \), мы можем сократить \( (x+1) \):

\[ y = (x+4)(x+2) \] \[ y = x^2 + 2x + 4x + 8 \] \[ y = x^2 + 6x + 8 \]

Это парабола с вершиной в точке \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2} = -3 \).

Значение \( y \) в вершине: \( y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \).

Однако, нужно учесть, что \( x \neq -1 \).

Найдем значение \( y \) при \( x = -1 \) для параболы \( y = x^2 + 6x + 8 \):

\[ y(-1) = (-1)^2 + 6(-1) + 8 = 1 - 6 + 8 = 3 \]

Таким образом, график функции — это парабола \( y = x^2 + 6x + 8 \) с выколотой точкой в \( (-1, 3) \).

2. Определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Вершина параболы находится в точке \( (-3, -1) \). Это самая нижняя точка параболы.

Прямая \( y = m \) является горизонтальной линией.

• Если \( m < -1 \), прямая \( y = m \) не пересекает параболу (0 точек).
• Если \( m = -1 \), прямая \( y = m \) касается вершины параболы (1 точка).
• Если \( -1 < m < 3 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в двух точках.
• Если \( m = 3 \), прямая \( y = m \) проходит через выколотую точку \( (-1, 3) \), поэтому она пересекает параболу только в одной точке (второй точке пересечения).
• Если \( m > 3 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в двух точках.

Следовательно, прямая \( y = m \) имеет ровно одну общую точку с графиком, когда \( m = -1 \) (вершина параболы) или \( m = 3 \) (уровень выколотой точки).

Ответ: \( m = -1 \) и \( m = 3 \).