20. Решите неравенство \(\frac{x-1)^2 - 12}{x^2 - 2x + 4} \ge 0\)

Решение:

1. Анализ знаменателя: Рассмотрим знаменатель

   \[ x^2 - 2x + 4 \]

   . Дискриминант этого квадратного трехчлена равен

   \[ D = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 4 - 16 = -12 \]

   . Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при

   \[ x^2 \]

   (равный 1) положительный, то

   \[ x^2 - 2x + 4 \]

   всегда больше нуля (

   \[ x^2 - 2x + 4 > 0 \]

   ) при любом значении

   \[ x \]

   .
2. Упрощение неравенства: Поскольку знаменатель всегда положителен, знак неравенства определяется только числителем. Следовательно, неравенство

   \[ \frac{(x-1)^2 - 12}{x^2 - 2x + 4} ≥ 0 \]

   эквивалентно неравенству

   \[ (x-1)^2 - 12 ≥ 0 \]

   .
3. Решение неравенства с числителем:

   \[ (x-1)^2 ≥ 12 \]

4. Извлечем квадратный корень из обеих частей, учитывая два случая:
• Случай 1:

  \[ x-1 ≥ √{12} \]

  .

  \[ x ≥ 1 + √{12} \]

  . Так как

  \[ √{12} = √{4 \times 3} = 2√{3} \]

  , то

  \[ x ≥ 1 + 2√{3} \]

  .
• Случай 2:

  \[ x-1 ≦ -√{12} \]

  .

  \[ x ≦ 1 - √{12} \]

  .

  \[ x ≦ 1 - 2√{3} \]

  .

Объединение решений: Решением неравенства являются

\[ x ≦ 1 - 2√{3} \]

или

\[ x ≥ 1 + 2√{3} \]

.

Ответ: ≦ 1 - 2√{3} \(\text{ или }\) ≥ 1 + 2√{3}