Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 22. Постройте график функции y = { x^2 - 2x + 4, при x >= 1; -9/x, при x < 1. Определите, при каких значениях x прямая y = -2…Фото задания

Ответ:

Решение:

Для решения этой задачи построим график функции, состоящий из двух частей, и затем найдем точки пересечения с прямой

\[ y = -2 \]

.

1. График функции

\[ y = x^2 - 2x + 4 \]

при

\[ x ≥ 1 \]

:

  • Это часть параболы. Вершина параболы находится в точке

    \[ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \times 1} = 1 \]

    .
  • Значение

    \[ y \]

    в вершине:

    \[ y_в = 1^2 - 2(1) + 4 = 1 - 2 + 4 = 3 \]

    . Вершина параболы в точке (1, 3).
  • Так как

    \[ x ≥ 1 \]

    , мы рассматриваем правую ветвь параболы, начиная с вершины.
  • Найдем несколько точек:
    • При

      \[ x = 1 \]

      ,

      \[ y = 3 \]

      .
    • При

      \[ x = 2 \]

      ,

      \[ y = 2^2 - 2(2) + 4 = 4 - 4 + 4 = 4 \]

      .
    • При

      \[ x = 3 \]

      ,

      \[ y = 3^2 - 2(3) + 4 = 9 - 6 + 4 = 7 \]

      .

2. График функции

\[ y = -\frac{9}{x} \]

при

\[ x < 1 \]

:

  • Это часть гиперболы.
  • Так как

    \[ x < 1 \]

    , мы рассматриваем часть гиперболы, расположенную слева от

    \[ x = 1 \]

    .
  • Найдем несколько точек:
    • При

      \[ x = -1 \]

      ,

      \[ y = -\frac{9}{-1} = 9 \]

      .
    • При

      \[ x = -3 \]

      ,

      \[ y = -\frac{9}{-3} = 3 \]

      .
    • При

      \[ x = -0.5 \]

      ,

      \[ y = -\frac{9}{-0.5} = 18 \]

      .

3. Построение графика:

Нарисуем оси координат. Отметим вершину параболы (1, 3) и построим правую ветвь параболы. Отметим точки для гиперболы и построим ее часть при

\[ x < 1 \]

.

4. Нахождение точек пересечения с прямой

\[ y = -2 \]

:

Теперь проведем горизонтальную прямую

\[ y = -2 \]

и посмотрим, где она пересекает график нашей функции.

  • Пересечение с параболой (

    \[ y = x^2 - 2x + 4 \]

    ,

    \[ x ≥ 1 \]

    ):
    • Приравняем

      \[ x^2 - 2x + 4 = -2 \]

    • \[ x^2 - 2x + 6 = 0 \]

    • Дискриминант

      \[ D = (-2)^2 - 4(1)(6) = 4 - 24 = -20 \]

      .
    • Так как дискриминант отрицательный, парабола не пересекает прямую

      \[ y = -2 \]

      (это ожидаемо, так как минимум

      \[ y \]

      параболы равен 3).
  • Пересечение с гиперболой (

    \[ y = -\frac{9}{x} \]

    ,

    \[ x < 1 \]

    ):
    • Приравняем

      \[ -\frac{9}{x} = -2 \]

    • \[ \frac{9}{x} = 2 \]

    • \[ 2x = 9 \]

    • \[ x = \frac{9}{2} = 4.5 \]

    • Полученное значение

      \[ x = 4.5 \]

      не удовлетворяет условию

      \[ x < 1 \]

      . Следовательно, прямой

      \[ y = -2 \]

      не пересекает эту часть графика.

Проверка условия