20. Решите уравнение (5х+12)(x² -1)=3x² + 3x.

Решение:

Раскроем скобки в левой части уравнения:

• \[ (5x+12)(x^2-1) = 5x(x^2-1) + 12(x^2-1) = 5x^3 - 5x + 12x^2 - 12 \]

Теперь приведем уравнение к виду:

• \[ 5x^3 + 12x^2 - 5x - 12 = 3x^2 + 3x \]

Перенесем все члены в левую часть:

• \[ 5x^3 + 12x^2 - 3x^2 - 5x - 3x - 12 = 0 \]
• \[ 5x^3 + 9x^2 - 8x - 12 = 0 \]

Попробуем найти целые корни уравнения среди делителей свободного члена (-12): ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Проверим x = -2:

• \[ 5(-2)^3 + 9(-2)^2 - 8(-2) - 12 = 5(-8) + 9(4) + 16 - 12 = -40 + 36 + 16 - 12 = -40 + 52 - 12 = 12 - 12 = 0 \]

Значит, x = -2 является корнем уравнения. Разделим многочлен на (x + 2) методом деления столбиком или по схеме Горнера.

По схеме Горнера:

   | 5   9   -8   -12
-2 |     -10    2    12
---------------------
     5  -1    -6     0

Получаем квадратное уравнение: $$5x^2 - x - 6 = 0$$. Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(5)(-6) = 1 + 120 = 121 \]
• \[ \sqrt{D} = 11 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

• \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 \]
• \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = 1.2 \]

Таким образом, корни исходного уравнения: -2, -1, 1.2.

Ответ: -2, -1, 1.2