24. Окружности с центрами в точках Р и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении а : b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как а : b.

Решение:

Пусть $$R_1$$ и $$R_2$$ — радиусы окружностей с центрами $$P$$ и $$Q$$ соответственно. Пусть $$d$$ — расстояние между центрами $$P$$ и $$Q$$, то есть $$d = PQ$$.

По условию, окружности не имеют общих точек, и ни одна не лежит внутри другой. Это означает, что расстояние между центрами больше суммы радиусов: $$d > R_1 + R_2$$.

Рассмотрим внутреннюю общую касательную. Пусть она касается первой окружности в точке $$A$$ и второй окружности в точке $$B$$. Отрезок $$AB$$ — часть касательной.

Проведем радиусы $$PA$$ и $$QB$$. Радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Таким образом, $$PA ⊥ AB$$ и $$QB ⊥ AB$$. Следовательно, $$PA ‖ QB$$ (параллельны).

Пусть внутренняя касательная пересекает отрезок $$PQ$$ в точке $$O$$. Точка $$O$$ делит отрезок $$PQ$$ в отношении $$a:b$$, то есть $$\frac{PO}{OQ} = \frac{a}{b}$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle PAO$$ и $$\triangle QBO$$.

• Угол $$∠ PAO = ∠ QBO = 90^\text{o}$$ (радиус перпендикулярен касательной).
• Углы $$∠ POA$$ и $$∠ QOB$$ являются вертикальными, следовательно, $$∠ POA = ∠ QOB$$.

По признаку подобия треугольников (по двум углам), $$\triangle PAO \thicksim \triangle QBO$$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

• \[ \frac{PA}{QB} = \frac{PO}{QO} = \frac{AO}{BO} \]

Мы знаем, что $$PA = R_1$$, $$QB = R_2$$, $$\frac{PO}{QO} = \frac{a}{b}$$.

Следовательно:

• \[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{a}{b} \]

Диаметр первой окружности $$D_1 = 2R_1$$, диаметр второй окружности $$D_2 = 2R_2$$.

Тогда отношение диаметров:

• \[ \frac{D_1}{D_2} = \frac{2R_1}{2R_2} = \frac{R_1}{R_2} \]

Поскольку $$\frac{R_1}{R_2} = \frac{a}{b}$$, то:

• \[ \frac{D_1}{D_2} = \frac{a}{b} \]

Это означает, что диаметры этих окружностей относятся как $$a : b$$.

Что и требовалось доказать.