23. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$C$$ — прямой угол. Катеты $$AC = 7$$ и $$BC = 24$$. Пусть $$h$$ — высота, проведённая из вершины $$C$$ к гипотенузе $$AB$$.

Сначала найдем длину гипотенузы $$AB$$ по теореме Пифагора:

• \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
• \[ AB^2 = 7^2 + 24^2 \]
• \[ AB^2 = 49 + 576 \]
• \[ AB^2 = 625 \]
• \[ AB = \sqrt{625} = 25 \]

Площадь треугольника $$ABC$$ можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $$S = \frac{1}{2} × AC × BC$$
2. Через гипотенузу и высоту к ней: $$S = \frac{1}{2} × AB × h$$

Приравниваем эти два выражения для площади:

• \[ \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × h \]
• \[ AC × BC = AB × h \]

Теперь подставим известные значения:

• \[ 7 × 24 = 25 × h \]
• \[ 168 = 25h \]
• \[ h = \frac{168}{25} \]
• \[ h = 6.72 \]

Ответ: 6.72