22. Постройте график функции y=\(\frac{(x^2+x)\cdot |x|}{x+1}\) Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Преобразуем выражение для функции. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $$x$$.

Случай 1: $$x \ge 0$$

Если $$x \ge 0$$, то $$|x| = x$$.

• \[ y = \frac{(x^2+x) \cdot x}{x+1} \]
• \[ y = \frac{x(x+1) \cdot x}{x+1} \]

При $$x
e -1$$ (что выполняется для $$x \ge 0$$), мы можем сократить $$(x+1)$$:

• \[ y = x^2 \text{ при } x \ge 0 \]

Случай 2: $$x < 0$$

Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$.

• \[ y = \frac{(x^2+x) \cdot (-x)}{x+1} \]
• \[ y = \frac{x(x+1) \cdot (-x)}{x+1} \]

При $$x
e -1$$, сокращаем $$(x+1)$$:

• \[ y = -x^2 \text{ при } x < 0 \text{ и } x
  e -1 \]

График функции:

График состоит из двух частей:

• Парабола $$y = x^2$$ для $$x \ge 0$$.
• Парабола $$y = -x^2$$ для $$x < 0$$ и $$x
  e -1$$.

На графике $$y = -x^2$$ при $$x < 0$$ будет выколотая точка в месте $$x = -1$$. Значение функции в этой точке: $$y = -(-1)^2 = -1$$. Значит, точка $$(-1; -1)$$ будет выколотой.

Построение графика:

Определение значений $$m$$:

Прямая $$y = m$$ является горизонтальной линией. Чтобы эта прямая не имела общих точек с графиком функции, она должна проходить выше или ниже всех точек графика.

• Для части графика $$y = x^2$$ при $$x \ge 0$$, минимальное значение $$y=0$$ (в точке $$x=0$$).
• Для части графика $$y = -x^2$$ при $$x < 0$$ и $$x
  e -1$$, значения $$y$$ стремятся к $$-\infty$$ и имеют выколотую точку $$(-1, -1)$$.

График функции имеет ветви, уходящие в $$+\infty$$ и $$-\infty$$. Однако, нас интересуют горизонтальные асимптоты или области, где прямая $$y=m$$ не пересекает график.

Рассмотрим поведение графика:

• Для $$x \ge 0$$, $$y=x^2$$, наименьшее значение $$y=0$$.
• Для $$x < 0$$, $$y=-x^2$$, максимальное значение (до выколотой точки) стремится к 0 (при $$x \to 0^-$$). При $$x=-1$$, точка выколота, $$y=-1$$.

График функции располагается в верхней полуплоскости (для $$x \ge 0$$) и в нижней полуплоскости (для $$x < 0$$), кроме выколотой точки $$(-1, -1)$$.

Верхняя часть графика (где $$y=x^2$$) начинается от $$y=0$$ и идет вверх. Нижняя часть графика (где $$y=-x^2$$) идет вниз от 0 (не включая 0) и имеет выколотую точку $$(-1, -1)$$.

Прямая $$y=m$$ не будет иметь общих точек с графиком, если она проходит через значения, которые функция не принимает.

Значение $$y=-1$$ не принимается функцией, так как при $$x=-1$$, точка выколота. Все остальные значения $$y < 0$$ принимаются функцией (ветвь $$y=-x^2$$).

Все значения $$y \ge 0$$ принимаются функцией (ветвь $$y=x^2$$).

Следовательно, прямая $$y=m$$ не имеет общих точек с графиком, если $$m = -1$$.

Ответ: $$m = -1$$