20. Решите уравнение: \(\frac{1}{x^2} - \frac{3}{x} - 4 = 0\)

Решение:

Пусть \( y = \frac{1}{x} \). Тогда исходное уравнение примет вид:

\[ y^2 - 3y - 4 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

1. Найдём дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \).
2. Найдём корни \( y \): \( y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \) и \( y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \).
3. Теперь вернёмся к замене: \( y = \frac{1}{x} \).
• Если \( y = 4 \), то \( \frac{1}{x} = 4 \), откуда \( x = \frac{1}{4} \).
• Если \( y = -1 \), то \( \frac{1}{x} = -1 \), откуда \( x = -1 \).

Ответ: \( x = \frac{1}{4}, x = -1 \).