22. Постройте график функции \( y = \frac{9x + 1}{9x^2 + x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Сначала упростим выражение для функции:

\[ y = \frac{9x + 1}{9x^2 + x} = \frac{9x + 1}{x(9x + 1)} \]

При \( 9x + 1 \neq 0 \), то есть \( x \neq -\frac{1}{9} \), функция упрощается до \( y = \frac{1}{x} \).

При \( x = -\frac{1}{9} \), знаменатель обращается в ноль, поэтому эта точка не входит в область определения функции. То есть, график функции \( y = \frac{9x + 1}{9x^2 + x} \) — это гипербола \( y = \frac{1}{x} \) с выколотой точкой в \( x = -\frac{1}{9} \).

Найдем координату y для выколотой точки:

\[ y = \frac{1}{-\frac{1}{9}} = -9 \]

Таким образом, график функции — это гипербола \( y = \frac{1}{x} \) с выколотой точкой \( (-\frac{1}{9}, -9) \).

Теперь найдём значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Приравняем уравнения:

\[ kx = \frac{1}{x} \]

\[ kx^2 = 1 \]

\[ kx^2 - 1 = 0 \]

Если \( k = 0 \), то \( -1 = 0 \), что невозможно. Значит, \( k \neq 0 \).

Это квадратное уравнение относительно \( x \). Чтобы прямая имела ровно одну общую точку с графиком \( y = \frac{1}{x} \) (гиперболой), дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю, или одна из точек пересечения должна быть выколотой точкой.

Случай 1: Дискриминант равен нулю.

Уравнение \( kx^2 - 1 = 0 \) имеет вид \( kx^2 + 0x - 1 = 0 \). Дискриминант \( D = 0^2 - 4 \cdot k \cdot (-1) = 4k \).

Для единственного решения \( D = 0 \), что означает \( 4k = 0 \), то есть \( k = 0 \). Но мы уже установили, что \( k \neq 0 \). Следовательно, этот случай не даёт решений.

Случай 2: Одна из точек пересечения — выколотая точка.

Выколотая точка имеет координаты \( (-\frac{1}{9}, -9) \). Эта точка должна лежать на прямой \( y = kx \).

\[ -9 = k \cdot (-\frac{1}{9}) \]

\[ k = -9 \cdot (-9) = 81 \]

Проверим, сколько решений имеет уравнение \( kx^2 - 1 = 0 \) при \( k = 81 \):

\[ 81x^2 - 1 = 0 \]

\[ 81x^2 = 1 \]

\[ x^2 = \frac{1}{81} \]

\[ x = \pm \frac{1}{9} \]

Мы получаем два решения для \( x \): \( x_1 = \frac{1}{9} \) и \( x_2 = -\frac{1}{9} \).

Однако, \( x = -\frac{1}{9} \) — это выколотая точка, она не является общей точкой с графиком функции. Поэтому при \( k = 81 \) прямая \( y = kx \) пересекает график функции \( y = \frac{9x + 1}{9x^2 + x} \) ровно в одной точке \( x = \frac{1}{9} \).

Случай 3: Прямая является одной из асимптот.

Для гиперболы \( y = 1/x \) асимптотами являются оси координат. Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат. Если \( k = 0 \), то \( y = 0 \) (ось x). Ось x пересекает гиперболу \( y = 1/x \) в одной точке \( x \to \pm \infty \), но это не конечная точка. Наш график - гипербола с выколотой точкой. Прямая \( y = 0 \) (ось x) пересекает график \( y = 1/x \) при \( 1/x = 0 \), что невозможно. Ось y \( x = 0 \) не является прямой вида \( y=kx \) (кроме случая, если k стремится к бесконечности).

Дополнительное рассмотрение:

Если бы прямая \( y = kx \) пересекала гиперболу \( y = 1/x \) в двух точках, то \( kx^2 = 1 \) имела бы два решения. Это происходит, когда \( k > 0 \).

В нашем случае, мы ищем, когда есть ровно одна точка пересечения. Мы нашли \( k=81 \), когда одна из точек пересечения совпадает с выколотой точкой.

Рассмотрим случай, когда \( k < 0 \). Уравнение \( kx^2 = 1 \) не будет иметь действительных решений, так как \( x^2 = 1/k \) будет отрицательным.

Также следует учесть, что прямая \( y = kx \) проходит через начало координат. Если \( k=0 \), то \( y=0 \), что не является прямой вида \( y=kx \) в строгом смысле для пересечения в одной точке.

Окончательный вывод:

Единственное значение \( k \), при котором прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции \( y = \frac{9x + 1}{9x^2 + x} \) (гипербола \( y = \frac{1}{x} \) с выколотой точкой \( (-\frac{1}{9}, -9) \)), это \( k = 81 \).

Ответ: k = 81.