25. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение:

Пусть \( BE \) — биссектриса, \( AD \) — медиана. \( BE ⊥ AD \). Точка пересечения биссектрисы и медианы — \( O \). \( BO = OE \), \( AO = OD \).

Из условия \( BE ⊥ AD \) следует, что \( ∠AOB = 90^\circ \).

В треугольнике \( △ ABD \), \( AO \) является высотой и медианой (так как \( AO = OD \)). Следовательно, \( △ ABD \) — равнобедренный с \( AB = BD \).

В треугольнике \( △ ABE \), \( BO \) является высотой и биссектрисой (так как \( BO = OE \) и \( ∠ABO = ∠EBO \)). Следовательно, \( △ ABE \) — равнобедренный с \( AB = AE \).

Таким образом, \( AB = BD = AE \). Пусть эта длина равна \( x \).

Так как \( AD \) — медиана, то \( BD = DC \). Значит, \( DC = x \).

Сторона \( BC = BD + DC = x + x = 2x \).

Сторона \( AC = AE + EC = x + EC \).

Также \( AD = 8 \), \( BE = 8 \).

В равнобедренном \( △ ABD \) (где \( AB = BD \)), \( AO \) — высота и медиана. \( AO = OD = AD/2 = 8/2 = 4 \).

В равнобедренном \( △ ABE \) (где \( AB = AE \)), \( BO \) — высота и биссектриса. \( AO \) — часть медианы \( AD \), \( BO \) — часть биссектрисы \( BE \).

В треугольнике \( △ AOB \): \( AO = 4 \), \( ∠AOB = 90^\circ \).

По свойству биссектрисы в \( △ ABC \): \( \frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EC} \).

\[ \frac{x}{2x} = \frac{x}{EC} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{x}{EC} \]

\[ EC = 2x \]

Сторона \( AC = AE + EC = x + 2x = 3x \).

Теперь рассмотрим треугольник \( △ AOE \). \( AO = 4 \). \( OE \) — половина биссектрисы \( BE \). Поскольку \( BE = 8 \), \( OE = 4 \).

В треугольнике \( △ AOE \): \( AO = 4, OE = 4 \) и \( ∠AOE = 90^\circ \). По теореме Пифагора:

\[ AE^2 = AO^2 + OE^2 \]

\[ x^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32 \]

\[ x = √32 = 4√2 \]

Итак, \( x = 4√2 \).

Стороны треугольника \( ABC \):

• \( AB = x = 4√2 \)
• \( BC = 2x = 2 • 4√2 = 8√2 \)
• \( AC = 3x = 3 • 4√2 = 12√2 \)

Ответ: \( AB = 4√2, BC = 8√2, AC = 12√2 \).