20. Тип 20 № 338086 Решите уравнение x² - 2x + √3 - x = √3 - x + 8.

Решение:

1. Упростим уравнение:

   Заметим, что выражение $$\sqrt{3-x}$$ присутствует в обеих частях уравнения. Мы можем вычесть его из обеих частей:

   \[ x^2 - 2x + \sqrt{3-x} = \sqrt{3-x} + 8 \]

   \[ x^2 - 2x = 8 \]

2. Сведем к квадратному уравнению:

   \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

3. Решим квадратное уравнение, используя формулу корней или теорему Виета. Воспользуемся дискриминантом.

\[ D = b^2 - 4ac \]

Здесь $$a = 1$$, $$b = -2$$, $$c = -8$$.

\[ D = (-2)^2 - 4(1)(-8) \]

\[ D = 4 + 32 \]

\[ D = 36 \]

1. Найдем корни уравнения:

   \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

   \[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

   \[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

2. Проверим условие для корня квадратного уравнения:

   Выражение под корнем $$\sqrt{3-x}$$ должно быть неотрицательным, то есть $$3-x \ge 0$$, откуда $$x \le 3$$.

   • Для $$x_1 = 4$$: $$3 - 4 = -1$$, что меньше нуля. Этот корень не подходит.
   • Для $$x_2 = -2$$: $$3 - (-2) = 3 + 2 = 5$$, что больше нуля. Этот корень подходит.

Ответ: -2