202. Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. На каком расстоянии от плоскости треугольника находится эта точка, если медиана, проведённая к гипотенузе, равна 5 см?

Обозначим через O середину гипотенузы, а через P — данную точку. В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех вершин, причём это расстояние равно половине гипотенузы. Медиана к гипотенузе равна 5 см, значит, расстояние от O до любой вершины также равно 5 см.

Так как точка P равноудалена от вершин, её проекция на плоскость треугольника — точка O. Пусть h — расстояние от P до плоскости. По теореме Пифагора: \(10^2=h^2+5^2\), откуда \(h^2=75\).

Ответ: \(5\sqrt{3}\) см.