207. В треугольнике ABC дано: AB = BC = 13 см, AC = 10 см. Точка M удалена от прямых AB, BC и AC на 8 2/3 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если её проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.

Проекция точки M равноудалена от всех трёх сторон и лежит внутри треугольника, значит, это центр вписанной окружности. Высота равнобедренного треугольника к основанию AC равна \(\sqrt{13^2-5^2}=12\) см; площадь — 60 см², полупериметр — 18 см. Поэтому радиус вписанной окружности равен \(r=60/18=10/3\) см.

Расстояние от M до любой стороны равно \(8\frac{2}{3}=26/3\) см. Если x — расстояние от M до плоскости ABC, то \((26/3)^2=x^2+(10/3)^2\). Отсюда \(x^2=64\), следовательно, \(x=8\) см.

Ответ: 8 см.