204. Прямая OM перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр O этого треугольника, OM = a, ∠MCO = φ. Найдите: а) расстояние от точки M до каждой из вершин треугольника ABC и до прямых AB, BC и CA; б) длину окружности, описанной около треугольника ABC; в) площадь треугольника ABC.

В прямоугольном треугольнике MOC угол при O прямой, поэтому \(\tan\varphi=OM/OC=a/R\), где R — радиус описанной окружности. Следовательно, \(R=a\cot\varphi\). Радиус вписанной окружности правильного треугольника равен \(R/2\).

а) Расстояние от M до каждой вершины: \(\sqrt{a^2+R^2}=a\sqrt{1+\cot^2\varphi}=a/\sin\varphi\). Расстояние от M до каждой прямой AB, BC и CA: \(\sqrt{a^2+(R/2)^2}=a\sqrt{1+\cot^2\varphi/4}\).

б) Длина описанной окружности: \(2\pi R=2\pi a\cot\varphi\).

в) Сторона правильного треугольника равна \(\sqrt{3}R\), поэтому его площадь равна \(\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2\cot^2\varphi\).

Ответ: а) до каждой вершины — \(a/\sin\varphi\), до каждой прямой стороны — \(a\sqrt{1+\cot^2\varphi/4}\); б) \(2\pi a\cot\varphi\); в) \(\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2\cot^2\varphi\).