21. Find the area of triangle REF.

В треугольнике REF, OT перпендикулярно EF. OT = 5. R - вершина. EF - основание. R T - высота. RT = 13.

EF = 2 * FT. FT = sqrt(FR^2 - RT^2). Но FR неизвестно.

В треугольнике OTE: OE^2 = OT^2 + TE^2. OE = R. OT = 5.

В треугольнике OTF: OF^2 = OT^2 + TF^2. OF = R.

В треугольнике ORE: OR^2 = OT^2 + RE^2. OR = R.

В треугольнике ORF: OR^2 = OT^2 + RF^2.

У нас есть прямоугольный треугольник OTE, OT=5, TE=? OE=R.

У нас есть прямоугольный треугольник OTF, OT=5, TF=? OF=R.

У нас есть прямоугольный треугольник RTO, RT=13, OT=5, RO=R. R^2 = 13^2 + 5^2 = 169 + 25 = 194. R = sqrt(194).

В треугольнике OTE: R^2 = OT^2 + TE^2. 194 = 5^2 + TE^2 = 25 + TE^2. TE^2 = 194 - 25 = 169. TE = 13.

В треугольнике OTF: R^2 = OT^2 + TF^2. 194 = 5^2 + TF^2 = 25 + TF^2. TF^2 = 194 - 25 = 169. TF = 13.

EF = TE + TF = 13 + 13 = 26.

Площадь треугольника REF = 1/2 * EF * RT = 1/2 * 26 * 13 = 13 * 13 = 169.

Ответ: S_▵REF = 169