23. Find the perimeter of triangle ABC.

Треугольник ABC. В него вписана окружность с центром O. AB = 10. BC = 6. AC = ?

Точки касания: E на AB, M на BC, F на AC.

AE = AF, BE = BM, CM = CF.

BE = BM. BM = ? CM = CF. CF = ?

AB = AE + EB = 10. BC = BM + MC = 6. AC = AF + FC.

У нас есть AE = 4, значит EB = 10 - 4 = 6. Так как EB = BM, то BM = 6. Но BC = 6, значит MC = 0. Это невозможно.

Предположим, что AE = 4, EB = 6. BE = BM = 6. BC = BM + MC = 6. MC = 0. Это значит, что точка M совпадает с C. Это невозможно.

Пусть AE = x, EB = y, BM = y, MC = z, CF = z, FA = x.

AB = x + y = 10.

BC = y + z = 6.

AC = x + z.

Нам дано, что AE = 4, значит x = 4. Тогда y = 10 - 4 = 6. Но y + z = 6, значит 6 + z = 6. z = 0. Это невозможно.

Возможно, на рисунке AE = 4, BE = 6, BM = 6, MC = 0, CF = 0, AF = 4. Это значит, что BC = 6, AC = 4. Тогда AB = 10.

Если AE = 4, то AF = 4.

Если BM = 6, то BE = 6. AB = AE + BE = 4 + 6 = 10. Это сходится.

Если MC = 0, то CF = 0. AC = AF + CF = 4 + 0 = 4.

Тогда треугольник ABC имеет стороны AB = 10, BC = 6, AC = 4.

Периметр ABC = AB + BC + AC = 10 + 6 + 4 = 20.

Ответ: P_▵ABC = 20